Matemáticas : Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Matemáticas : Sistemas de ecuaciones lineales y matrices:                                                    Sistemas de ecuaciones lineales a 11 x 1  + a 12 x 2  + .....................+a 1n x n...tt

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales

4.1.1 Definición 

Es cualquier expresión del tipo: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n = b, donde a_i, b  .

a_i son los coefecientes.

b es el término independiente.

x_i son las incógnitas.

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/sistemas_1.html

4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes y su representación paramétrica del conjunto de solución.

4.3 Metodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Metodo gráfico, igualación, sustitución y eliminación.

4.1.4 Sistemas de ecuaciónes equivalentes.

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

4.1.5.1 Definición de matriz

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

4.1.5.3 Operaciónes elementales sobre renglones

OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES

Para una matriz  A  se definen tres operaciones elementales por renglones (o columnas), nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente y se utiliza el símbolo de equivalencia.
I . Intercambiar dos renglones
Ejemplo:   si intercambiamos el renglón  1  y  3:
          
II .  Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero 
Ejemplo:    si multiplicamos el renglón  3 por 2:
          
III. Sumar un renglón a otro renglón
Ejemplo:   si sumamos el renglón  3  al renglón  2:
          
Las operaciones  II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglón a otro. http://www.seduca2.uaemex.mx/material/LIA/MN/Cnt14.php 

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

4.2 Álgebra de matrices.

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.

Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general. 

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3a.html 

4.2.1 Tipos de matrices.

 

4.2.2 Operaciones con matrices.

4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.

4.2.4 Matríz inversa.

4.3 Determinantes.

4.3.1 Definición de una determinante.

Si  es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a. 

http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html

4.3.2 Expansión por cofactores.

Teorema

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es

                                   (2)

es el desarrollo del determinante  D  por  el  renglón  i,  y  similarmente

                                                                    (3)

es el desarrollo del determinante  D  por la columna  k.

http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/menores%20y%20cofactores.htm 

4.3.4 Regla de Cramer

 

conclusión: 

 Se me complico mucho porque se me revuelven las columnas y los renglones.

INTEGRAL DEFINIDA

Area bajo la curva

Teorema fundamental del cálculo

La derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.

http://www.inetor.com/definidas/teorema_calculo.html 

Propiedades de la integral definida

Área entre una y dos curvas

.

Aplicaciones:  excedentes del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro

conlusión: Esta unidad se me facilito, ya que no es complicada la integral definida.

INTEGRACIÓN

                                                                2.1 Antiderivadas
La antiderivada o primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+C
donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x)
Es decir F’(x) = f(x)
A la funcion F(x) se le llama una antiderivada de la una funcion f(x).
http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/2012/09/antiderivada.pdf 
                                                            2.2 Integral idefinida
La integral indefinida esta dada por la función principal más la constante, si y solo si F'(x)=f(x)

                                                          2.2.1 Integración con condicioes iniciales.
Hemos dicho que la ecuación y =∫f(x) dx admite infinitas soluciones que difieren en una constante. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos varias gráficas de primitivas de la forma:


y = ∫ (3x2 − 1) dx = x3 − x + C

(Solución general) para diversos valores enteros de C. Cada una de esas primitivas es una solución de la ecuación

dx

dy = 3x2 − 1

Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C.

  2.3 Fórmulas básicas de integración 

  2.3.1 Integral indefinida de una constante

  2.3.2 Integral de una constante por una variable
 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx 
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Integral%20Indefinida.pdf 

2.3.3 Integral de X^n

xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n  -1)   D

1/x dx dx = ln|x| + C

  http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm

 2.3.4 Integral de e^n 

e^x dx = e^x + C 
http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm 
                                     2.3.5 Integral de una constante por una función de X
 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx 
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Integral%20Indefinida.pdf
                                                  

  2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

[f(x) ± g(x)] dx

=

f(x) dx

±

g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

Regla de múltiples constantes:

kf(x) dx

=

k

f(x) dx

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo".

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.

                                         2.3.7 Regla de la potencia

                                           2.3.7,1  Integrales que incluyen U^n

 

2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales

                                   2.3.8 Integrales que incluyen funciones logaritmicas

                                      2.3.9  Integrales que incluyan (1/u) du

 

2.3.9.0 Integrales que incluye a^u

2.3.11 Integrales por partes 

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

http://www.inetor.com/metodos/integracion_partes.html 

                      2.4 Aplicaciónes: determinación de funciones de costos, utilidades, consumo, y ahorro a partir de sus marginales 

conclusión: En esta unidad vimos integrales y se me complicaron mucho ya que no les entendia muy bien, pero fue una bonita unidad.

 

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO EN DOS VARIABLES

                                      1.1 Funciónes en dos variables
Una función de dos variables, z = f(x, y), es el modelo
matemático que nos dice cuál es el valor de la variable Z para cada posible
valor de las variables X e Y .

                                                 1.2 Derivadas Parciales

 Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)

  Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

                                      1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables 

                                      1.4 Aplicaciónes: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos , ingresos o utilidad.

 * Función de costo:

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

*Función de ingreso:

El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función linealI(x) = mx y el precio de venta m se puede tamién llamar ingreso marginal.

*Función de  utilidad:

La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:

Utilidad	=	Ingreso − Costo
U	=	I − C

Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o

I = C

Equilibrio

El puno equilibrio es el número de articulos x a lo cual presenta el equilibrio.
        
                                    Conclusión:
                            En esta unidad aprendí a realizar las derivadas y sus funciones.                                              
                                                               
   
    FUENTES:
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Matematicas-Apuntes/5-Funciones-Varias-Variables.pdf 
http://www.ehu.es/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf0/framesF2A.html